Fsb4000 писал(а):
2. а)делимая абелева группа не имеет максимальных подгрупп
Думаю, хватит уже полных решений, да? Модераторы ведь зароют за то, что я Вам уже две задачи полностью расписал!!! Посему, чтобы их не злить, ограничимся идеями.
Ниже мы везде считаем, что натуральный ряд начинается с единицы.
Предположите, что --- делимая группа и --- максимальная подгруппа в . Рассмотрите
Докажите, что --- подгруппа в , содержащая . В силу максимальности возможны только два случая: или .
Рассмотрите каждый из случаев по отдельности и придите к противоречию. В случае возьмите и докажите, что
есть собственная подгруппа в , содержащая и не равная . В случае зафиксируйте и , такие что и покажите, что
является собственной подгруппой в , содержащей и не совпадающей с .
Добавлено спустя 10 минут 17 секунд:
Fsb4000 писал(а):
б) привести примеры делимых абелевых групп,могут ли они быть конечными?
Самый простой пример --- это . Ну или , --- что Вам больше нравится.
Насчёт конечности... конечно же делимая группа не может быть конечной (за исключением тривиального случая, когда группа состоит из одного нуля). Предположите, что --- конечная группа. Докажите, что для некоторого и всех . Потом возьмите такое и узрите, что уравнение неразрешимо при ненулевом .
Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:
Fsb4000 писал(а):
4. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R ()(), в котором нет максимальных идеалов.
Возьмите абелеву группу . Покажите, что она делимая. Умножение задайте следующим образом:
Покажите, что для 
выполняется всё, что надо.
Упс!.. А ведь ошибся я тут, похоже. Максимальный идеал есть, он равен . Н-да, надо ещё подумать... Но не буду я сейчас ничего думать, а поеду лучше на работу, в универ. Надо же Вам хоть что-то для самостоятельного решения оставить!
Добавлено спустя 10 минут 29 секунд:
Fsb4000 писал(а):
1.Доказать что произвольное кольцо с единицей содержит максимальный идеал.
по решению: 1. По лемме Цорна выберем минимальный положительный элемент, он и будет порождающим идеал.
Ну... не знаю, что Вы там за минимальный положительный элемент такой придумали. По моему, это полная чушь. Какой Вы там в произвольном кольце "положительный элемент" найдёте, если в этом кольце порядок не задан и непонятно, что там "положительное", а что "отрицательное"...
Но насчёт того, что надо применять лемму Цорна --- это правильная идея. Только применять её надо к множеству собственных идеалов кольца. Берёте это множество, упорядочиваете его обычным отношением включения и показываете, что данное упорядочивание индуктивно. Потом, по лемме Цорна, заключаете, что в этом множестве есть максимальный элемент. Этот максимальный элемент и будет максимальным идеалом!
Когда будете показывать индуктивность, то в качестве верхней грани для цепи собственных идеалов берите их объединение. Оно тоже будет идеалом, а собственным оно окажется потому, что единица в него не войдёт. И вот, кстати, в кольце без единицы доказательство через лемму Цорна не проходит, а всё дело именно в этом моменте
Добавлено спустя 34 минуты 54 секунды:
Alexiii писал(а):
Любое кольцо по определению имеет единицу,так что немыслимо писать "кольцо с единицей". Любое кольцо само по себе идеал кольца и притом,очевидно,максимальный...
Нас учили, что наличие единицы в определение кольца не входит. Так что произвольное кольцо не обязано содержать единицу, а если она в нём всё-таки есть, то сказать про такое кольцо, что оно является "кольцом с единицей", более чем уместно!
Думаю, что порывшись в библиотеке, я найду кучу весьма солидных учебников по алгебре, которые подтверждают мою точку зрения. И в матэнциклопедии написано, что кольцо не обязано единицу иметь. Так что всё в условии задачи у автора темы правильно, нечего на него гнать!
Максимальным идеалом кольца, по определению , называется идеал, максимальный по включению среди собственных идеалов . Об этом не то что во многих, а просто во всех учебниках по алгебре написано, в которых теория колец присутствует. Так что насчёт максимальности у Вас ещё один гон совершенно не по теме!
Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:
Alexiii писал(а):
Вообще,как я понял из ваших комментов, "кольца с единицией" пишут только для того,чтобы исключить одноэлементный случай.
Совершенно неправильно поняли! "Кольца с единицей" пишут для того, чтобы обозначить наличие единицы в кольце
А колец без единицы полно. К примеру, множество чётных целых чисел с обычными сложением и умножением образуют такое кольцо.
Определение 2.5. Кольцом называют алгебру
R = (R, +, ⋅,0 , 1 ),
сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем для любых a, b, c ∈ R выполняются равенства:
- a+(b+c) = (a+b)+c;
- a+b = b+a;
- а + 0 = a;
- для каждого а ∈ R существует элемент а", такой, что a+a" = 0
- а-(b-с) = (а-b)-с;
- а ⋅ 1 = 1 ⋅ а = а;
- а⋅(b + с) =а⋅b + а⋅с, (b + с) ⋅ а = b⋅ а + с⋅а.
Операцию + называют сложением кольца , операцию умножением кольца , элемент 0 - нулем кольца , элемент 1 - единицей кольца .
Равенства 1-7, указанные в определении, называют аксиомами кольца . Рассмотрим эти равенства с точки зрения понятия группы и моноида .
Аксиомы кольца 1-4 означают, что алгебра (R, +, 0 ), сигнатура которой состоит только из операций сложения кольца + и нуля кольца 0 , является абелевой группой . Эту группу называют аддитивной группой кольца R и говорят также, что по сложению кольцо есть коммутативная (абелева) группа.
Аксиомы кольца 5 и 6 показывают, что алгебра (R, ⋅, 1), сигнатура которой включает только умножение кольца ⋅ и еди- единицу кольца 1, есть моноид. Этот моноид называют мультипликативным моноидом кольца R и говорят, что по умножению кольцо есть моноид.
Связь между сложением кольца и умножением кольца устанавливает аксиома 7, согласно которой операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения.
Учитывая сказанное выше, отметим, что кольцо - это алгебра с двумя бинарными и двумя нульарными операциями R =(R, +, ⋅,0 , 1 ), такая, что:
- алгебра (R, +, 0 ) - коммутативная группа;
- алгебра (R, ⋅, 1 ) - моноид;
- операция ⋅ (умножения кольца) дистрибутивна относительно операции + (сложения кольца).
Замечание 2.2. В литературе встречается иной состав аксиом кольца, относящихся к умножению. Так, могут отсут- отсутствовать аксиома 6 (в кольце нет 1 ) и аксиома 5 (умножение не ассоциативно). В этом случае выделяют ассоциативные коль- кольца (к аксиомам кольца добавляют требование ассоциативности умножения) и кольца с единицей. В последнем случае добавля- добавляются требования ассоциативности умножения и существования единицы.
Определение 2.6. Кольцо называют коммутативным , если его операция умножения коммутативна.
Пример 2.12. а. Алгебра (ℤ, +, ⋅, 0, 1) есть коммутативное кольцо. Отметим, что алгебра (ℕ 0 , +, ⋅, 0, 1) кольцом не будет, поскольку (ℕ 0 , +) - коммутативный моноид, но не группа.
б. Рассмотрим алгебру ℤ k = ({0,1,..., k - 1}, ⊕ k , ⨀ k , 0,1) (к>1) с операцией ⊕ k сложения по модулю л и ⨀ k (умножения по модулю л). Последняя аналогична операции сложения по модулю л: m ⨀ k n равно остатку от деления на k числа m ⋅ n. Эта алгебра есть коммутативное кольцо, которое называют кольцом вычетов по модулю k.
в. Алгебра (2 A , Δ, ∩, ∅, А) - коммутативное кольцо, что следует из свойств пересечения и симметрической разности множеств.
г. Пример некоммутативного кольца дает множество всех квадратных матриц фиксированного порядка с операциями сложения и умножения матриц. Единицей этого кольца является единичная матрица, а нулем - нулевая.
д. Пусть L - линейное пространство. Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих в этом пространстве.
Напомним, что суммой двух линейных операторов А и В называют оператор А + В , такой, что (А + В ) х = Ах + Вх , х ∈ L .
Произведением линейных операторов А и В называют линей- линейный оператор АВ , такой, что (АВ )х = А (Вх ) для любого х ∈ L .
Используя свойства указанных операций над линейными операторами, можно показать, что множество всех линейных операторов, действующих в пространстве L , вместе с операциями сложения и умножения операторов образует кольцо. Нулем этого кольца служит нулевой оператор , а единицей - тождественный оператор .
Это кольцо называют кольцом линейных операторов в линейном пространстве L. #
Аксиомы кольца называют также основными тождествами кольца . Тождество кольца - это равенство, ливость которого сохраняется при подстановке вместо фигурирующих в нем переменных любых элементов кольца. Основные тождества постулируются, и из них затем могут быть выведе- выведены как следствия другие тождества. Рассмотрим некоторые из них.
Напомним, что аддитивная группа кольца коммутативна и в ней определена операция вычитания .
Теорема 2.8. В любом кольце выполняются следующие тождества:
- 0 ⋅ а = a ⋅ 0 = 0 ;
- (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) = a ⋅ (-b);
- (a-b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c, c ⋅ (a-b) = c ⋅ a - c ⋅ b.
◀Докажем тождество 0 ⋅ а = 0 . Запишем для произвольного а:
a+0 ⋅ a = 1 ⋅ a + 0 ⋅ a = (1 +0 ) ⋅ a = 1 ⋅ a = a
Итак, а + 0 ⋅ а = а. Последнее равенство можно рассматривать как уравнение в аддитивной группе кольца относительно неизвестного элемента 0 ⋅ а. Так как в аддитивной группе любое уравнение вида а + х = b имеет единственное решение х=b - а, то 0 ⋅ а = а - а = 0 . Тождество а⋅ 0 = 0 доказывается аналогично.
Докажем теперь тождество - (a ⋅ b) = a ⋅ (-b). Имеем
a ⋅ (-b)+a ⋅ b = a ⋅ ((-b) + b) = a ⋅ 0 = 0 ,
откуда а ⋅ (-b) = -(а ⋅ b). Точно так же можно доказать, что (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b).
Докажем третью пару тождеств. Рассмотрим первое из них. С учетом доказанного выше имеем
а ⋅ (b - с) = a ⋅ (b+(-c)) = a ⋅ b + a ⋅ (-c) =a ⋅ b - a ⋅ c,
т.е. тождество справедливо. Второе тождество этой пары доказывается аналогично.
Следствие 2.1 . В любом кольце справедливо тождество (-1 ) ⋅ х = x ⋅ (-1 ) = -x.
◀Указанное следствие вытекает из второго тождества теоремы 2.8 при a = 1 и b = x.
Первые два тождества из доказанных в теореме 2.8 выражают свойство, называемое аннулирующим свойством нуля в кольце. Третья же пара тождеств указанной теоремы выражает свойство дистрибутивности операции умножения кольца относительно операции вычитания. Таким образом, производя вычисления в любом кольце, можно раскрывать скобки и менять знаки так же, как и при сложении, вычитании и умножении действительных чисел.
Ненулевые элементы а и b кольца R называют делителями нуля , если а ⋅ b = 0 или b ⋅ а = 0 . Пример кольца с делителем нуля дает любое кольцо вычетов по модулю k, если k - составное число. В этом случае произведение по модулю k любых тип, дающих при обычном перемножении число, кратное k, будет равно нулю. Например, в кольце вычетов по модулю 6 элементы 2 и 3 являются делителями нуля, поскольку 2 ⨀ 6 3 = 0. Другой пример дает кольцо квадратных матриц фиксированного порядка (не меньшего двух). Например, для матриц второго порядка имеем
При отличных от нуля а и b приведенные матрицы являются делителями нуля.
По умножению кольцо является только моноидом. Поставим вопрос: в каких случаях кольцо по умножению будет группой? Прежде всего заметим, что множество всех элементов кольца, в котором 0 ≠ 1 , не может образовывать группы по умножению, так как нуль не может иметь обратного. Действительно, если предположить, что такой элемент 0" существует, то, с одной стороны, 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 1 , а с другой - 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 0 , откуда 0 = 1. Это противоречит условию 0 ≠ 1 . Таким образом, поставленный выше вопрос можно уточнить так: в каких случаях множество всех ненулевых элементов кольца образует группу по умножению?
Если в кольце имеются делители нуля, то подмножество всех ненулевых элементов кольца не образует группы по умножению уже хотя бы потому, что это подмножество не замкнуто относительно операции умножения, т.е. существуют ненулевые элементы, произведение которых равно нулю.
Кольцо, в котором множество всех ненулевых элементов по умножению образует группу, называют телом , коммутативное тело - полем , а группу ненулевых элементов тела (поля) по умножению - мультипликативной группой этого тела (поля ). Согласно определению, поле есть частный случай кольца, в котором операции обладают дополнительными свойствами. Выпишем все свойства, выполнение которых требуется для операций поля. Их еще называют аксиомами поля .
Поле есть алгебра F = (F, +, ⋅, 0, 1), сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем справедливы тождества:
- a+(b+c) = (a+b)+c;
- a+b = b+a;
- a+0 = a;
- для каждого а ∈ F существует элемент -а, такой, что a+ (-a) = 0;
- a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
- a ⋅ b = b ⋅ a
- a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
- для каждого а ∈ F, отличного от 0, существует элемент а -1 , такой, что а ⋅ а -1 = 1;
- a ⋅ (b+c) = a ⋅ b + a ⋅ c.
Пример 2.13. а. Алгебра (ℚ, +, ⋅, 0, 1) есть поле, называемое полем рациональных чисел .
б. Алгебры (ℝ , +, ⋅, 0, 1) и (ℂ, +, ⋅, 0, 1) есть поля, называемые полями действительных и комплексных чисел соответственно.
в. Примером тела, не являющегося полем, может служить алгебра кватернионов . #
Итак, мы видим, что известным законам сложения и умножения чисел соответствуют аксиомы поля. Занимаясь числовыми расчетами, мы „работаем в полях", а именно имеем дело преимущественно с полями рациональных и вещественных чисел, иногда „переселяемся" в поле комплексных чисел.
Пусть (K,+, ·) - кольцо. Так как (K, +) - абелева группа, учитывая свойства групп получим
СВ-ВО 1 . Во всяком кольце (K,+, ·) имеется единственный нулевой элемент 0 и для всякого a ∈ K имеется единственный противоположный ему элемент −a.
СВ-ВО 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).
СВ-ВО 3. Для любых a, b ∈ K в кольце K существует единственная разность a − b, причем a − b = a + (−b). Таким образом, в кольце K определена операция вычитания, при этом она обладает свойствами 1′-8′.
СВ-ВО 4 . Операция умножения в K дистрибутивна относительно операции вычитания, т.е. ∀ a, b, c ∈ K ((a − b)c = ac − bc ∧ c(a − b) = ca − cb).
Док-во. Пусть a, b, c ∈ K. Учитывая дистрибутивность операции · в K относительно операции + и определение разности элементов кольца, получим (a − b)c + bc = ((a − b) + b)c = ac, откуда по определению разности следует, что (a − b)c = ac − bc.
Аналогично доказывается правый закон дистрибутивности операции умножения относительно операции вычитания.
СВ-В 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.
Доказательство. Пусть a ∈ K и b-произвольный элемент из K. Тогда b − b = 0 и поэтому, учитывая предыдущее свойство, получим a0 = a(b − b) = ab − ab = 0.
Аналогично доказывается, что 0a = 0.
СВ-ВО 6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab).
Доказательство. Пусть a, b ∈ K. Тогда (−a)b + ab = ((−a) + a)b =
0b = 0. Значит, (−a)b = −(ab).
Аналогично доказывается равенство a(−b) = −(ab).
СВ-ВО 7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab.
Доказательство. В самом деле, применяя дважды предыдущее свойство, получим (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.
ЗАМЕЧАНИЕ. Свойства 6 и 7 называют правилами знаков в кольце.
Из дистрибутивности операции умножения в кольце K относительно операции сложения и свойств 6 и 7 вытекает следующее
СВ-ВО 8. Пусть k, l-произвольные целые числа. Тогда ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.
Подкольцо
Подкольцом кольца (K,+, ·) называется подмножество H множества K, которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в K, и само является кольцом относительно этих операций.
Примеры подколец:
Так, Z -подкольцо кольца (Q,+, ·), Q-подкольцо кольца (R,+, ·), Rn×n -подкольцо кольца (Cn×n,+, ·), Z[x]-подкольцо кольца (R[x],+, ·), D -подкольцо кольца (C,+, ·).
Во всяком кольце (K,+, ·) само множество K, а также одноэлементное подмножество {0} являются подкольцами кольца (K,+, ·). Это так называемые тривиальные подкольца кольца (K,+, ·).
Простейшие свойства подколец.
Пусть H - подкольцо кольца (K,+, ·), т.е. (H,+, ·) само является кольцом. Значит, (H, +)-группа, т.е. H -подгруппа группы (K, +). Поэтому справедливы следующие утверждения.
СВ-ВО 1. Нулевой элемент подкольца H кольца K совпадает с нулевым элементом кольца K.
СВ-ВО 2 . Для всякого элемента a подкольца H кольца K противоположный ему элемент в H совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в K.
СВ-ВО 3. Для любых элементов a и b подкольца H их разность в H совпадает с элементом a − b, т.е. с разностью этих элементов в K.
Признаки подкольца.
ТЕОРЕМА 1 (первый признак подкольца).
Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является подкольцом кольцаK тогда итолькотогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:
∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)
∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)
∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)
Необходимость. Пусть H - подкольцо кольца (K,+, ·). Тогда H -подгруппа группы (K, +). Поэтому по первому признаку подгруппы (в аддитивной формулировке), H удовлетворяет условиям (1) и (2). Кроме того, H замкнуто относительно операции умножения, определенной в K, т.е. H
удовлетворяет и условию (3).
Достаточность. Пусть H ⊂ K, H 6= ∅ и H удовлетворяет условиям (1) − (3). Из условий (1) и (2) по первому признаку подгруппы следует, что H -подгруппа группы (K, +), т.е. (H, +)-группа. При этом, так как (K, +)-абелева группа, (H, +) также абелева. Кроме того, из условия (3) следует, что умножение является бинарной операцией на множестве H. Ассоциативность операции · в H и ее дистрибутивность относительно операции + следуют из того, что такими свойствами обладают операции + и · в K.
ТЕОРЕМА 2 (второй признак подкольца).
Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является
подкольцом кольца K т. и т. т, когда оно удовлетворяет следующим условиям:
∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (4)
∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
При этом используется теорема 2′ (второй признак подгруппы в аддитивной формулировке) и замечание к ней.
7.Поле (определение, виды, свойства, признаки).
Полем называется коммутативное кольцо с единицей e не равно 0, в котором всякий элемент, отличный отнуля имеет обратный.
Классическими примерами числовых полей являются поля (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).
СВОЙСТВО 1. Во всяком поле F справедлив закон сокращения
на общий множитель, отличный от нуля, т.е.
∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a не равно 0 ⇒ b = c).
СВОЙСТВО 2. Во всяком поле F нет делителей нуля.
СВОЙСТВО 3. Кольцо (K,+, ·) является полем тогда и только
тогда, когда множество K \ {0} есть коммутативная группа относительно операции умножения.
СВОЙСТВО 4 . Конечное ненулевое коммутативное кольцо (K,+, ·) без делителей нуля является полем.
Частное элементов поля.
Пусть (F,+, ·)-поле.
Частным элементов a и b поля F, где b не равно 0,
называется такой элемент c ∈ F, что a = bc.
СВОЙСТВО 1. Для любых элементов a и b поля F, где b не равно 0, существует единственное частное a/b, причем a/b= ab−1.
СВОЙСТВО 2. ∀ a ∈ F \ {0}
a/a= e и ∀ a ∈ F a/e= a.
СВОЙСТВО 3. ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0}
a/b=c/d ⇔ ad = bc.
СВОЙСТВО 4. ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0}
СВОЙСТВО 5. ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ {0}
(a/b)/(c/d)=ad/bc
СВОЙСТВО 6. ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ {0}
СВОЙСТВО 7. ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ {0}
СВОЙСТВО 8. ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ {0}
Поле F, единица которого имеет конечный порядок p в группе (F, +)p.
Поле F единица, которого имеет бесконечный порядок в группе (F, +), называется полем характеристики 0.
8. Подполе (определение, виды, свойства, признаки)
Подполем поля (F,+, ·) называется подмножество S множества F, которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в F, и само является полем относительно этих операций.
Приведем некоторые примеры подполей Q-подполе поля (R,+, ·);
R-подполе поля (C,+, ·);
справедливы следующие утверждения.
СВОЙСТВО 1. Нулевой элемент подполя S поля F совпадает с
нулевым элементом поля F.
СВОЙСТВО 2 . Для всякого элемента a подполя S поля F противоположный ему элемент в S совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в F.
СВОЙСТВО 3. Для любых элементов a и b подполя S поля F их
разность в S совпадает с a−b т.е. с разностью этих элементов в F.
СВОЙСТВО 4. Единица подполя S поля F совпадает с единицей
e поля F.
СВОЙСТВО 5 . Для всякого элемента a подполя S поля F, от-
личного от нуля, обратный к нему элемент в S совпадает с a−1, т.е. с элементом, обратным к a в F.
Признаки подполя.
ТЕОРЕМА 1 (первый признак подполя).
Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой
(F,+, ·)
∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)
∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)
∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)
∀ a ∈ H \ {0} a−1 ∈ H. (4)
ТЕОРЕМА2 (второй признак подполя).
Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой
элемент, является подполем поля (F,+, ·) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:
∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (5)
∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\{0} a/b ∈ H. (6)
10. Отношение делимости в кольце Z
Утверждение: для любых элементов a,b,c коммутативного кольца на множестве R, справедливы следующие импликации:
1) а|b, b|c => a|c
2) a|b, a|c => a| (b c)
3) a|b => a|bc
для любого a, b Z справедливо:
2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|
3)a|b и b|a ó |a|=|b|
Разделить с остатком целое число а на целое число b , значит найти такие целые числа q и r, что можно представить a=b*q + r, 0≤r≥|b|, где q – неполное частное, r- остаток
Теорема: Если a и b Z , b≠0, то а можно разделить на b с остатком,причем неполное частное и остаток определяются однозначно.
Следствие,если a и b Z , b≠0, то b|a ó
11. НОД и НОК
Наибольший общий делитель(НОД) чисел Z называется некоторое число d, удовлетворяющее следующим условиям
1) d является общим делителем т.е. d| , d| …d|
2) d делится на любой общий делитель чисел т.е. d| , d| …d| => d| , d| …d|
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия колец. Приведены основные определения и свойства элементов кольца, рассмотрены ассоциативные кольца. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения
Кольца
Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением ) называется ассоциативным кольцом с единицей , если:
Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
Замечания 1.10.1 .
Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец) .
Мы уже убедились, что группа вычетов (Z n ,+)={C 0 ,C 1 ,...,C n-1 }, C k =k+nZ , по модулю n с операцией сложения , является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).
Определим операцию умножения, полагая . Проверим корректность этой операции . Если C k =C k" , C l =C l" , то k"=k+nu , l"=l+nv , , и поэтому C k"l" =C kl .
Так как (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m , то является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C 1 кольцом вычетов по модулю n ).
Свойства колец (R,+,.)
Лемма 1.10.3 (бином Ньютона) . Пусть R - кольцо с 1 , , . Тогда:
Доказательство.
Определение 1.10.4 . Подмножество S кольца R называется подкольцом , если:
а) S - подгруппа относительно сложения в группе (R,+) ;
б)для имеем ;
в)для кольца R с 1 предполагается, что .
Примеры 1.10.5 (примеры подколец)
. 
Задача 1.10.6 . Описать все подкольца в кольце вычетов Z n по модулю n .
Замечание 1.10.7 . В кольце Z 10 элементы, кратные 5 , образуют кольцо с 1 , не являющееся подкольцом в Z 10 (у этих колец различные единичные элементы).
Определение 1.10.8 . Если R - кольцо, и , , ab=0 , то элемент a называется левым делителем нуля в R , элемент b называется правым делителем нуля в R .
Замечание 1.10.9 . В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.
Пример 1.10.10 . В Z , Q , R нет делителей нуля.
Пример 1.10.11 . Кольцо непрерывных функций C имеет делители нуля. Действительно, если
то , , fg=0 .
Пример 1.10.12
. Если n=kl
, 1 Лемма 1.10.13
. Если в кольце R
нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac
, где Доказательство. Если ab=ac
, то a(b-c)=0
. Так как a
не является левым делителем нуля, то b-c=0
, т. е. b=c
. Определение 1.10.14
. Элемент называется нильпотентным
, если x n =0
для некоторого Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1
, то Упражнение 1.10.15
. Кольцо Z n
содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n
делится на m 2
, где , . Определение 1.10.16
. Элемент x
кольца R
называется идемпотентом
, если x 2 =x
. Ясно, что 0 2 =0
, 1 2 =1
. Если x 2 =x
и , , то x(x-1)=x 2 -x=0
, и поэтому нетривиальные идемпотенты
являются делителями нуля. Через U(R)
обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R
, т. е. тех , для которых существует обратный элемент s=r -1
(т. е. rr -1 =1=r -1 r
). В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д. Определение 1.
Кольцом
называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям: 1. a+b=b+a
(коммутативность сложения). 2. (a+b)+c=a+(b+c)
(ассоциативность сложения). 3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a
+0=a
, при любом a
. 4. Для любого a
существует противоположный элемент −a
такой, что a
+(−a
)=0. 5. (a+b)c=ac+bc
(левая дистрибутивность). 5". c(a+b)=ca+cb
(правая дистрибутивность). Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения. Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями. 6. (ab)c=a(bc)
(ассоциативность умножения). 7. ab=ba
(коммутативность умножения). 8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a
·1=1·a=a
, для любого элемента a
. 9. Для любого элемента элемента a
существует обратный элемент a
−1 такой, что aa
−1 =a
−1 a=
1. В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях. Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8. Примеры колец: 1. Множество квадратных матриц. Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице. 2. Множество всех комплексных чисел. 3. Множество всех действительных чисел. 4. Множество всех рациональных чисел. 5. Множество всех целых чисел. Определение 2.
Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом
. Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.
, , следует, что b=c
(т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля).
. Наименьшее такое натуральное число n
называется степенью нильпотентности элемента
.
, ). Обратное утверждение неверно (в Z 6
нет нильпотентных элементов, однако 2
, 3
, 4
- ненулевые делители нуля).
